1 - Polinômios e racionais, nos seus domínios são funções contínuas.
2 - Comomposições de funções contínuas são funções contínuas.
3 - A função inverse de uma função contínua é contínua.
4 - O quociente de duas funções cóntínuas é contínuo (denominador diferente de zero).
5 - A soma de duas contínuas é conínua (o limite da soma é a soma dos limites).
6 - O produto de duas funções contínuas é contínuo.
7 - Funções trigonométricas e suas inversão são contínuas.
8 - Exponenciais e logarítimos são funções contínuas em seus domínios.
Derivadas somente são possíveis em espaços de continuidade de funções. A derivada é um limite dado por uma função, também pode ser visto como o limite que fornece a taxa de variação instantânea de variação.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \Delta x}{\Delta y} \]
Falar de derivadas é falar de reta tangente. Quando uma curva B ossui um equação y=f(x) e desejamos encontrar a reta tangente a B em um ponto P(a,f(a)), se tomarmos um ponto próximo Q(x ,f(x)), sendo x diferente de 0, e calcularmos ainclinação da secante PQ.
\[ M_{pq} = \frac{f(x) - f(a)} {x - a} \] Para encontrarmos a derivada no ponto P, fazemos com que Q se desloque ao londo da curva até chegar num ponto vizinho a P muito próximo (fazer Q tender x tender a a ), fazendo com tenhamos não mais uma secante, mas sim uma tangente à curva. Essa reta tangente tem estão inclinação m na posição limite entre x e a. Nesse momento dizemos que essa nova reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) é dada por
\[ m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - f(a)} {x - a} \] desde que este limite exista.
Para uma intuição mais clara de derivada a função de segudo grau mais famosa e elementar é util nessa compreensão. Tomemos a equação da reta tangente à parábola \(y = X^2\). Para tanto considere o ponto P(1, 1). Esta restrição nos informa que $ a = 1 $ e \(f(x)=x^2\), o que nos conduz à inclinação assim dada:
\[ m = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)} {x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)} {x - 1} \] \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)} {x - 1}\] \[ \lim_{x \to 1} (x+1) = 1 + 1 = 2\] Que nos dá a inclinação da reta \(m=2\). Assim, considerando o ponto P(1,1), temos a reta dada por:
\[ y-1 =2(x -1) => y-1 = 2x -2 => y = 2x -2 +1 \] \[ y = 2x -1 \]
A derivada de uma constante é sempre igual a zero.
\[ y'= \frac{df}{dx} = 0\] \[\therefore y'= 0 \] \[y = \pi \therefore y'= 0 \]
Quando derivamos uma equação com expoente, o expoente desce multiplicando a incógnita e é subtrado 1 do expoente \[ x^n = nx^{n-1}\] \[ 2x^3 = 6x^{2}\]